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嶽麓書院藏秦簡《數(shù)》贏不足算題研討

（首發(fā)）

蕭燦

湖南大學(xué)嶽麓書院

嶽麓書院藏秦簡《數(shù)》中有一例“贏不足”算題非常重要，它是一例含三個未知數(shù)的不定問題，不見於傳世文獻(xiàn)和已知的出土文獻(xiàn)。對於此題學(xué)者們有各種解讀，但簡所記術(shù)文的含義仍無法確知。

 斗九錢，秶十 　　C020107

 七錢，叔（菽）十斗　　　2197

 斗，用八錢，問各幾可（何）？曰：稻六斗　　0799

 〔術(shù)〕曰：直（置）稻九，不足一其下，粢七，直（置）贏 　　2198

 一其下，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足 　　 2179

 乘粢七，同之卅，為稻（實(shí)）；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢（實(shí)），以稻不足一乘叔（菽）五為（實(shí)），同贏　　0496

不足　　　 C100108

 五以為法，如法各得一斗?！?/SPAN> 0497

簡文的復(fù)原方案之一可以是：“【稻十】斗九錢，秶十【斗】七錢，叔（菽）十斗【五錢，今欲買三物共十】斗，用八錢，問各幾可（何）？曰：稻六斗，【秶三斗，菽一斗。術(shù)】曰：置稻九，不足一其下，粢七，直（置）贏一其下，叔（菽）五，直（置）贏三其下，粢不足【一乘稻九，以叔（菽）三】乘粢七，同之卅，為稻實(shí)；以叔（菽）三乘叔（菽）五，十五為粢（實(shí)）；以稻不足一乘叔（菽）五為（實(shí)），同贏、不足五以為法，如法各得一斗?！?/SPAN>[1]

徐義保先生的解析[2]

此題的代數(shù)方法的解答如下：

設(shè)稻斗，秶為斗，菽斗，列方程組：

這一不定方程組有無數(shù)解，如：

算題給出的答案只是其中之一。

依照算題術(shù)文，布列如下：

　稻　9　　　　1（不足）

秶　7　　　　1（贏）

菽　5　　　　3（贏）

上述運(yùn)算步驟，數(shù)據(jù)于算題術(shù)文吻合，但不能解釋其數(shù)學(xué)含義。

鄒大海先生的解析[3]

此題的代數(shù)方法解答如下：

設(shè)稻斗，秶為斗，菽斗，列方程組：

x+y+z=10 （1）

9x/10+7y/10+5z/10=8 （2）

綜合兩式得到2x+y=15，如果求非負(fù)整數(shù)解，

當(dāng)y=1時，x=7，z=2，這組解可計為（7，1，2），　第一組

當(dāng)y=3時，這組解為（6，3，1），　 第二組

當(dāng)y=5時，這組解為（5，5，0）， 第三組

當(dāng)y=7或9或更大的奇數(shù)時，z為負(fù)數(shù)，故不可計入解。

本題的答案中說“稻六斗”，可見只取了第二組解。

依照算題術(shù)文，可作如下理解：

秶1×稻9+叔（菽）3×秶7=30　　為稻實(shí)

叔（菽）3×叔（菽）5 =15　　　　　　　為秶實(shí)

稻不足1×叔（菽）5=5　　　　　 為叔實(shí)

贏1+贏3+不足1=5　　　　 為法

以法5分別除稻實(shí)30、秶實(shí)15、叔實(shí)5，分別得到稻、秶、叔的數(shù)量為6、3、1斗。

上述各實(shí)的計算步驟，沒有規(guī)則可言，整個計算也看不出有什麼道理。古人在設(shè)計這個問題的時候，可能就是先有答案和題設(shè)，然後擬合術(shù)文的。

朱一文先生的意見[4]

朱先生同意徐、鄒二位先生對算法的分析，但認(rèn)為簡所記術(shù)文並非拼湊擬合，而是體現(xiàn)的算籌運(yùn)算的規(guī)律。簡文的“術(shù)”或者在某些限制條件下是成立的。